Xem tài liệu

Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện và các vấn đề liên quan

Xem thêm Công thức xác định thể tích của khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tổng quát cho khối tứ diện (tham khảo thêm)

Bạn đang xem: Xem tài liệu

Ta có công thức Crelle thể hiện mối quan hệ giữa thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện [S=6VR,] trong đó $S$ là diện tích của tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là tích độ dài các cặp cạnh đối diện của tứ diện; $V$ là thể tích khối tứ diện và $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đó.

Xem thêm :

Ví dụ. Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5,CD=sqrt{10},AC=2sqrt{2},BD=3sqrt{3},AD=sqrt{22},BC=sqrt{13}.$Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đã cho bằng

Xét tam giác có độ dài các cạnh $a=AB.CD=5sqrt{10};b=AC.BD=6sqrt{6};c=AD.BC=sqrt{286}Rightarrow p=dfrac{a+b+c}{2}$

Diện tích tam giác này là $S=sqrt{pleft( p-a right)left( p-b right)left( p-c right)}=15sqrt{51}.$

Tính thể tích khối tứ diện này theo các góc tại đỉnh A:

Xem thêm : Cách gõ công thức toán học trong word cực đơn giản

Ta có $left{ begin{array}{l}x = cos widehat {BAC} = dfrac{{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}}}{{2AB.AC}} = dfrac{{{5^2} + {{left( {2sqrt 2 } right)}^2} – {{left( {sqrt {13} } right)}^2}}}{{2.5.2sqrt 2 }} = dfrac{1}{{sqrt 2 }}y = cos widehat {CAD} = dfrac{{A{C^2} + A{D^2} – C{D^2}}}{{2AC.AD}} = dfrac{{{{left( {2sqrt 2 } right)}^2} + {{left( {sqrt {22} } right)}^2} – {{left( {sqrt {10} } right)}^2}}}{{2.2sqrt 2 .sqrt {22} }} = dfrac{5}{{2sqrt {11} }}z = cos widehat {DAB} = dfrac{{A{D^2} + A{B^2} – B{D^2}}}{{2AD.AB}} = dfrac{{{{left( {sqrt {22} } right)}^2} + {5^2} – {{left( {3sqrt 3 } right)}^2}}}{{2.sqrt {22} .5}} = sqrt {dfrac{2}{{11}}}end{array} right.$Khi đó $V=dfrac{1}{6}AB.AC.ADsqrt{1+2xyz-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=5.$

Vì vậy áp dụng công thức Crelle ta có $S=6VRRightarrow R=dfrac{15sqrt{51}}{30}=dfrac{sqrt{51}}{2}.$

>>Xem thêm Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Nguồn: https://vnedulink.edu.vn
Danh mục: Giáo Dục