Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện và các vấn đề liên quan
Xem thêm Công thức xác định thể tích của khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tổng quát cho khối tứ diện (tham khảo thêm)
Bạn đang xem: Xem tài liệu
Ta có công thức Crelle thể hiện mối quan hệ giữa thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện [S=6VR,] trong đó $S$ là diện tích của tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là tích độ dài các cặp cạnh đối diện của tứ diện; $V$ là thể tích khối tứ diện và $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đó.
Xem thêm : Chemical Reactivity of Calcium Oxide with Hydrogen
Ví dụ. Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5,CD=sqrt{10},AC=2sqrt{2},BD=3sqrt{3},AD=sqrt{22},BC=sqrt{13}.$Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đã cho bằng
Xét tam giác có độ dài các cạnh $a=AB.CD=5sqrt{10};b=AC.BD=6sqrt{6};c=AD.BC=sqrt{286}Rightarrow p=dfrac{a+b+c}{2}$
Diện tích tam giác này là $S=sqrt{pleft( p-a right)left( p-b right)left( p-c right)}=15sqrt{51}.$
Tính thể tích khối tứ diện này theo các góc tại đỉnh A:
Xem thêm : Đoàn thuyền đánh cá – Nội dung bài thơ, Hoàn cảnh sáng tác, Dàn ý phân tích tác phẩm
Ta có $left{ begin{array}{l}x = cos widehat {BAC} = dfrac{{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}}}{{2AB.AC}} = dfrac{{{5^2} + {{left( {2sqrt 2 } right)}^2} – {{left( {sqrt {13} } right)}^2}}}{{2.5.2sqrt 2 }} = dfrac{1}{{sqrt 2 }}y = cos widehat {CAD} = dfrac{{A{C^2} + A{D^2} – C{D^2}}}{{2AC.AD}} = dfrac{{{{left( {2sqrt 2 } right)}^2} + {{left( {sqrt {22} } right)}^2} – {{left( {sqrt {10} } right)}^2}}}{{2.2sqrt 2 .sqrt {22} }} = dfrac{5}{{2sqrt {11} }}z = cos widehat {DAB} = dfrac{{A{D^2} + A{B^2} – B{D^2}}}{{2AD.AB}} = dfrac{{{{left( {sqrt {22} } right)}^2} + {5^2} – {{left( {3sqrt 3 } right)}^2}}}{{2.sqrt {22} .5}} = sqrt {dfrac{2}{{11}}}end{array} right.$Khi đó $V=dfrac{1}{6}AB.AC.ADsqrt{1+2xyz-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=5.$
Vì vậy áp dụng công thức Crelle ta có $S=6VRRightarrow R=dfrac{15sqrt{51}}{30}=dfrac{sqrt{51}}{2}.$
>>Xem thêm Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Nguồn: https://vnedulink.edu.vn
Danh mục: Giáo Dục